数论函数方程φ(n)=S(nk)的非平凡解

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刘艳艳

 （西藏民族学院 教育学院, 陕西 咸阳 712082）

 摘要： 对于正整数a, 设φ(a)和S(a)分别是a的Euler 函数和Smarandache函数，k是给定的正整数。 本研究运用初等数学方法给出了方程φ(n)=S(nk)有适合n>1的正整数解n的充要条件。 由此推知：如果k=［(pα－1－1)/α］，其中p为奇素数，α是大于1的正整数，［(pα－1－1)/α］是(pα－1－1)/α的整数部分，则该方程有正整数解n=pαm适合n>1，其中m∈{1,2}。

 关键词： Euler函数； Smarandache函数； 方程； 非平凡解

中图分类号： O 156.2文献标志码： A

Nontrivial Solutions of the Arithmetic Functional Equation φ(n)=S(nk)

 LIU Yanyan

（School of Education, Tibet University for Nationalities, Xianyang 712082, China)

 Abstract: For any positive integer a, let φ(a) and S(a) denote the Euler function and the Smarandache function respectively.Let k be a fixed positive integer. Using elementary number theory methods, a necessary and sufficient condition for equation φ(n)=S(nk)to have positive integer solution n with n>1 is given. As a consequence, we prove that if k=(pα－1－1)α，where p is an odd prime, α is appositive integer with α>1, (pα－1－1)α is the integral part of (pα－1－1)α then the equation has positive integer solutions n=pαm with n>1，where m∈{1,2}.

 Key words: Euler function; Smarandache function; equation; nontrivial solution

收稿日期：  20140105

基金项目： 西藏民族学院项目（14myY02）.

作者简介：  刘艳艳（1983—），女，硕士.